Voir aussi <\/p>\n
Jacques Hadamard (1865-1963) Le comportement du syst\u00e8me solaire est impr\u00e9visible \u00e0 long terme. Ce n’est pas un aveu d’impuissance mais une g\u00e9niale intuition du math\u00e9maticien Jacques Hadamard, il y a tout juste un si\u00e8cle. <\/strong><\/p>\n L’ann\u00e9e 1898 d\u00e9bute avec ” J’accuse ” de Zola; l’affaire Dreyfus \u00e9clate. Plus discr\u00e8tement, dans un p\u00e9riodique math\u00e9matique, le Journal de math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es para\u00eet un article au titre \u00e9sot\u00e9rique: ” Les surfaces \u00e0 courbures oppos\u00e9es et leurs lignes g\u00e9od\u00e9siques\u00ff”. L’auteur est le plus brillant math\u00e9maticien de sa g\u00e9n\u00e9ration, Jacques Hadamard. Il a 33 ans, et il a d\u00e9j\u00e0 derri\u00e8re lui une moisson de r\u00e9sultats fondamentaux sur les fonctions d’une variable complexe, qui constituent alors une branche ma\u00eetresse de l’analyse math\u00e9matique. Deux ans plus t\u00f4t, ses m\u00e9thodes de la th\u00e9orie des fonctions lui ont permis, en m\u00eame temps qu’au math\u00e9maticien belge Charles de la Vall\u00e9e Poussin, d’\u00e9tablir l’une des perles de la th\u00e9orie des nombres, le ” th\u00e9or\u00e8me des nombres premiers “: le nombre de nombres premiers inf\u00e9rieurs \u00e0 x est \u00e9quivalent, quand se tend vers l’infini, \u00e0 x\/lnx (x divis\u00e9 par la logarithme n\u00e9p\u00e9rien de x). Cela lui a valu, de la part de l’Acad\u00e9mie des sciences, le Grand prix des sciences math\u00e9matiques. Au cours de cette ann\u00e9e 1898, Hadamard va pr\u00e9senter un travail \u00e0 l’Acad\u00e9mie des Sciences et rencontre Charles Hermite, math\u00e9maticien \u00e9minent de la vieille g\u00e9n\u00e9ration, et homme de droite. Hadamard est dreyfusard – il est d’ailleurs apparent\u00e9 au capitaine Dreyfus. Hermite lui lance: ” Hadamard, vous \u00eates un tra\u00eetre ! “. Et avant que Hadamard ait pu r\u00e9agir: ” vous avez trahi l’analyse pour la g\u00e9om\u00e9trie ! ”<\/p>\n Trahir l’analyse pour la g\u00e9om\u00e9trie, et avec quel brio ! <\/strong><\/p>\n En l’occurrence, la trahison \u00e9tait payante. Hadamard apportait dans son nouveau domaine, qu’on appelle aujourd’hui la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, les m\u00e9thodes de l’analyse, et les connaissances toutes r\u00e9centes sur les ensembles de points qui s’\u00e9taient d\u00e9velopp\u00e9es \u00e0 partir de Georges Cantor. Son article traite d’un sujet relatif \u00e0 des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes. Sur certaines surfaces, qui ressemblent localement \u00e0 des selles de cheval, il n’existe qu’une mani\u00e8re de tendre un fil entre deux points donn\u00e9s, comme c’est le cas pour le plan, alors que ce n’est pas le cas pour la sph\u00e8re ou le cylindre. Ce sont de telles surfaces, ” \u00e0 courbures oppos\u00e9es “, que consid\u00e8re Hadamard. Il se posait le probl\u00e8me que voici: \u00e0 partir d’un point donn\u00e9 de la surface, on lance sur la surface un point mat\u00e9riel dans une direction donn\u00e9e – sa trajectoire est ce qu’on appelle une ” g\u00e9od\u00e9sique “, et l’image est celle d’un fil tendu; va-t-il rester \u00e0 distance finie ou s’en aller \u00e0 l’infini ? Hadamard montre que cela d\u00e9pend de la direction donn\u00e9e D, et de fa\u00e7on tout \u00e0 fait surprenante: si la g\u00e9od\u00e9sique correspondant \u00e0 la direction D reste \u00e0 distance finie, il existe des directions D’ et D” aussi voisines qu’on veut de D, telles que la g\u00e9od\u00e9sique correspondant \u00e0 D’ s’\u00e9loigne \u00e0 l’infini et que la g\u00e9od\u00e9sique correspondant \u00e0 D” reste \u00e0 distance finie. Lorsqu’on perturbe D, on ne peut plus r\u00e9pondre \u00e0 la question. Autrement dit encore: lorsqu’on donne D avec une certaine approximation, alors, si bonne que soit cette approximation, on ne pourra jamais conclure que la g\u00e9od\u00e9sique correspondant \u00e0 D est born\u00e9e. Plus tard, dans l’\u00e9tude des \u00e9quations d’\u00e9volution, Hadamard appellera cela un probl\u00e8me ” mal pos\u00e9 “. Mais ce n’est pas du tout un probl\u00e8me dont l’\u00e9nonc\u00e9 est vicieux: c’est un probl\u00e8me dont la solution d\u00e9pend des conditions initiales, de telle sorte que la moindre variation de ces conditions initiales change la solution radicalement. Ainsi, quelle que soit la pr\u00e9cision avec laquelle on conna\u00eet les conditions initiales, la solution est impr\u00e9visible; et cela n’est pas un aveu d’impuissance, c’est un th\u00e9or\u00e8me.<\/p>\n D\u00e9terminisme et impr\u00e9visibilit\u00e9 peuvent coexister <\/strong><\/p>\n Hadamard s’autorise alors un apart\u00e9. Est-ce que le probl\u00e8me math\u00e9matique de la stabilit\u00e9 du syst\u00e8me solaire, r\u00e9duit au mod\u00e8le newtonien de n corps soumis \u00e0 l’attraction universelle, n’est pas un probl\u00e8me mal pos\u00e9 ? Ce probl\u00e8me a occup\u00e9 pendant deux si\u00e8cles les meilleurs esprits, et Henri Poincar\u00e9 vient de la renouveler par ses m\u00e9thodes de topologie (“analysis situs ” \u00e0 l’\u00e9poque). L’\u00e9tude d’Hadamard est relative \u00e0 un mod\u00e8le plus simple, mais la question qu’il pose sur le syst\u00e8me solaire, \u00e0 savoir l’impr\u00e9visibilit\u00e9 fondamentale de son comportement \u00e0 long terme, \u00e9tait extr\u00eamement pertinente: cette impr\u00e9visibilit\u00e9 a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e en 1970, par le math\u00e9maticien russe V. M. Alexeiev. Ainsi, \u00e0 l’int\u00e9rieur m\u00eame d’un mod\u00e8le math\u00e9matique, il peut y avoir \u00e0 la fois d\u00e9terminisme (la solution est parfaitement d\u00e9termin\u00e9e par les conditions initiales) et impr\u00e9visibilit\u00e9 (si bien que l’on connaisse ces conditions, on ne peut pas pr\u00e9voir le comportement de la solution \u00e0 tr\u00e8s long terme). Dans les math\u00e9matiques contemporaines, trois branches au moins sont dans le prolongement direct de cet article d’Hadamard. D’abord, en g\u00e9om\u00e9trie, les surfaces ” \u00e0 courbures oppos\u00e9es ” (on dit aujourd’hui ” \u00e0 courbure n\u00e9gative “) sont le paradigme de la ” g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique “, que l’on trouve \u00e0 la base de multiples th\u00e9ories et applications, allant jusqu’\u00e0 la conception des ordinateurs parall\u00e8les.<\/p>\n Ensuite, pour la navigation interstellaire, il a fallu d\u00e9velopper une nouvelle approche des \u00e9quations d’\u00e9volution. Faute de pr\u00e9voir avec pr\u00e9cision les trajectoires, on est amen\u00e9 \u00e0 les rectifier constamment. C’est la probl\u00e9matique d’une branche r\u00e9cente de l’analyse, la ” th\u00e9orie du contr\u00f4le “. <\/strong><\/p>\n Enfin, le comportement \u00e0 tr\u00e8s long terme des solutions d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle a fait l’objet de progr\u00e8s \u00e9tonnants au cours de ce si\u00e8cle; bassins d’attraction, attracteurs \u00e9tranges, chaos d\u00e9terministe sont des termes techniques qui, plus ou moins bien compris, sont pass\u00e9s dans la langue commune. Dans chacun de ces domaines, nous avons en France des repr\u00e9sentants de premier plan: Mikhael Gromov (Russe naturalis\u00e9 fran\u00e7ais); Jacques-Louis Lions; David Ruella, Jean-Christophe Yoccoz, pour ne citer que quelques-uns. Naturellement, les recherches se m\u00e8nent sur le plan international; les Sovi\u00e9tiques ont eu sur ces sujets une place \u00e9minente; le p\u00f4le dominant est aujourd’hui am\u00e9ricain. De quoi sera fait, ici comme ailleurs, l’avenir \u00e0 tr\u00e8s long terme ? Ce n’est plus l\u00e0 une question math\u00e9matique. Mais les math\u00e9matiques peuvent aider, par exemple, \u00e0 ne pas confondre impr\u00e9visibilit\u00e9 et ind\u00e9terminisme..<\/p>\n * Math\u00e9maticien<\/p>\n Jacques Hadamard (1865-1963) <\/strong><\/p>\n Sa vie s’\u00e9tend de Napol\u00e9on III \u00e0 de Gaulle, et il a \u00e9t\u00e9 m\u00eal\u00e9 \u00e0 tous les \u00e9v\u00e9nements de son temps, du si\u00e8ge de Paris en 1970 aux d\u00e9buts de l’astronautique, en passant par l’affaire Dreyfus, les deux guerres mondiales o\u00f9 il perdit ses trois fils, le combat antifasciste, Munich dont il ressentit la honte, Vichy qui le destitua comme juif, l’Am\u00e9rique qui l’accueillit entre 1940 et 1944 et le honnit en 1950, la Ligue des droits de l’Homme, la sympathie au communisme, le Mouvement de la Paix.<\/p>\n Jeune, il \u00e9tait f\u00e9ru de latin et de grec avant de se tourner vers les math\u00e9matiques. Re\u00e7u premier aux deux concours de l’Ecole normale et de l’Ecole polytechnique, il opta pour la premi\u00e8re, o\u00f9 ses ma\u00eetres furent Jules Tannery et Emile Picard. Henri Poincar\u00e9 \u00e9tait son a\u00een\u00e9 de 11 ans, Emile Borel, R\u00e9mi Baire et Henri Lebesgue ses cadets de 6 \u00e0 10 ans. En Allemagne, David Hilbert (1862-1943) \u00e9tait son contemporain. Hadamard a \u00e9t\u00e9 le premier en France \u00e0 comprendre la port\u00e9e de la th\u00e9orie des ensembles, cr\u00e9\u00e9e par Georg Cantor entre 1870 et 1880. Son oeuvre a marqu\u00e9 la th\u00e9orie des fonctions, contribu\u00e9 \u00e0 cr\u00e9er l’analyse fonctionnelle, renouvel\u00e9 la th\u00e9orie des \u00e9quations aux d\u00e9riv\u00e9es partielles. Il a \u00e9t\u00e9 \u00e9lu professeur au Coll\u00e8ge de France en 1909, membre de l’Acad\u00e9mie des sciences en 1912. Son s\u00e9minaire du Coll\u00e8ge de France a \u00e9t\u00e9 le prototype de tous les s\u00e9minaires math\u00e9matiques permanents, qui constituent aujourd’hui l’une des formes principales d’organisation de la vie math\u00e9matique, en France et dans le monde..<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Voir aussi <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[141],"tags":[],"class_list":["post-870","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-archives-web"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/870","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=870"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/870\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=870"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=870"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/archives.regards.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=870"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}